2025 y el teorema de Nicómaco

En el caso que nos ocupa, podemos decir aún más, ya que 2025 no es un cuadrado perfecto cualquiera, sino que cumple una propiedad adicional mucho más excepcional. Si observamos con más atención, nos podemos dar cuenta de que 45 es la suma de los 9 primeros números naturales, de tal manera que podemos escribir 2025 como el cuadrado de la suma de los 9 primeros números naturales, 2025= (1+2+...+9)². Pero la historia no termina aquí, porque también sucede que el propio 2025 es la suma de los cubos de los 9 primeros números naturales, obteniendo ahora otra expresión diferente para el número que nos ocupa, 2025=1³+2³+...+9³. ¿Es esto pura casualidad? La respuesta es que no y, de hecho, esto ocurre siempre que tomemos los n primeros números naturales: se verifica siempre que (1+2+...+n)²=1³+2³+...+n³. La comprobación de esta afirmación es evidente para n=1, puesto que en ese caso se reduce a la igualdad 1²=1³. Emplazamos al lector a comprobar que, efectivamente, esto es verdad para valores pequeños de n, como, por ejemplo, n=2 o n=3.

Lo bonito del asunto es que esto ocurre para cualquier valor natural de n, y constituye el llamado «teorema de Nicómaco», en honor al filósofo y matemático griego Nicómaco de Gerasa, quién lo demostró hacia el año 100 de nuestra era. La demostración formal de este resultado es un típico ejemplo de un argumento lógico-deductivo ampliamente utilizado en Matemáticas y que se conoce como el «principio de inducción». Su potencia es tal que permite demostrar que una determinada propiedad es válida para cualquiera de los infinitos posibles valores de n. Por esta razón, podemos decir que 2025 es un año «de Nicómaco». ¿Cuál fue el anterior año de Nicómaco? ¿Conocen ustedes a alguien que haya vivido o tenga esperanzas de vivir durante dos años de Nicómaco?